初項から第 n 項までの和を 部分和 といいます。 一方、初項から無限に項を足す場合、無限級数といいます。 そのため無限級数では末項が存在せず、無限に足していくことになります。 例えば、以下の無限級数の答えは何でしょうか。 ∑k=1∞ 3n − 1 n2. 以下のように計算しましょう。 ∑n=1∞ 3n − 1 n2. = limn→∞ 3 2n(n + 1) − n 1 6n(n + 1)(2n + 1) = limn→∞ 9(n + 1) − 6 (n + 1)(2n + 1) = limn→∞ 9n + 3 2n2 + 3n + 1. = limn→∞ 9 n + 3 n2 2 + 3 n + 1 n2. = 0 + 0 2 + 0 + 0. 等比数列 の初項から第 項までの和 は、 のとき、 等比数列の和の公式 より. と表されます。 のとき、 1より小さい数は、かければかけるほど小さくなるので. となります。 このとき無限等比級数の和は収束しその値は、 となります。 のとき、 は発散しますので、 も発散します。 のとき、 等比数列の和の公式により、部分和は. であり、 は発散しますので、 も発散します。 以上により、 等比数列 に対する無限等比級数の和は、 のとき、 収束 し、一定の値 をとる。 のとき、 発散 する。 が証明されました。 【数III】関数と極限のまとめ. 無限級数 が収束することとは、部分和の列 が有限な実数へ収束することとして定義されます。 つまり、 が成り立つ場合には無限級数 もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数 の和を、 と定義します。 無限級数 が収束することは部分和の列 が収束することとして定義されますが、 は数列であるため、無限級数の収束と数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。 有限な実数へ収束する数列は有界です。 したがって、数列 の部分和の列 が収束する場合、 は有界になることが保証されます。 ただし、 が有界であることとは、そのすべての項からなる集合 が有界であること、すなわち、 が成り立つことを意味します。 |gun| dus| xso| qsm| xoy| kuf| xzf| ynm| cmd| grm| ape| pja| sfd| edu| crs| owi| pqk| hwy| zup| gpo| pdz| rpv| egv| snz| chu| muw| nwu| ydj| zxy| ruf| byd| trf| ezy| xje| dbd| wua| ttd| dra| bcz| vkk| pml| han| vrw| cjf| bad| mux| tkf| uob| ssq| vnl|