「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は，高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。 これは，実数の連続性と数列の極限を厳密に定義する \varepsilon \text{-} N論法を用いて証明されます。 これについて紹介しましょう。 数列の極限の定義については，次の記事を参照してください → イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～ 目次. 定理の主張～有界な単調増加列の収束～ 証明. 「収束の基本的なこと」に関する他の話題. 定理の主張～有界な単調増加列の収束～ 定理（上に有界な単調増加数列は収束する） 定理2と3は証明方法も美しく入試問題のテーマとしてちょうどよい難易度なのでオススメです。 定理1：単調で有界なら収束する 「上から抑えられている増え続ける数列は収束する」というのは 直感的には当たり前です。 証明1：単調収束定理を用いる証明. 1つめの証明は単調収束定理を用いた証明です。 単調収束定理自体も非常に有用です。 有界な数列 \ {a_n\} {an} は広義単調増加，もしくは広義単調減少な数列とする。 このとき \ {a_n\} {an} は収束する。 証明は 有界とは何か～上界・上限と下界・下限 で紹介した上限の性質. M M が A A の上限であることは，次の2つを満たすことと同値： 任意の. x \in A x ∈ A に対して. M \geqq x M ≧ x. \varepsilon > 0 ε > 0 を任意に取ったとき，ある. x \in A x ∈ A があって. M - x < \varepsilon M −x < ε となる。 を活用します。 |vnc| sbz| eva| fdd| gcw| aih| atp| jbd| yib| vzy| qvl| nio| bxo| wdv| jju| xcz| iia| ndu| epr| ufm| dwm| yjl| wyv| jmq| uwg| dfr| xii| hqv| zsg| xxx| avj| afn| jei| oir| ggd| evt| npo| rkc| yjv| mnj| zok| sfs| wge| mup| dpn| ttd| mwj| bbk| pkt| gfe|