2022.07.28 2021.01.14. 目次. 概要. 証明. logのマクローリン展開. 条件収束する -順序の入れ替えは不変でない- ライプニッツの定理. 概要. 以下の級数は交代調和級数と呼ばれ log2 に収束します. 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ = ∞ ∑ n = 1( − 1)n − 1 n = log2. 証明. 高校生でも習う和公式から, 1 − x + x2 − x3 + ⋯ + ( − x)k − 1 = 1 − ( − x)k 1 + x より 1 1 + x = 1 − x + x2 − x3 + ⋯ + ( − x)k − 1 + ( − x)k 1 + x を得ます. この両辺を区間 [0, 1] 上で積分すると. これは条件収束であることに反するので、負であるような項は無数に存在することがわかる。. 同様に、正であるような項も無数に存在する。. a + n: = {an (an > 0) 0 (an ≤ 0) a − n: = {an (an < 0) 0 (an ≥ 0) とし、 級数 ∞ ∑ n = 1a + n および ∞ ∑ n = 1a − n を 無限級数の収束条件. 先の項で無限級数の収束を定義しましたが、コーシー列と収束列に関する定理をあわせることで、次の補題が得られます。 補題. 無限級数 (1)が実数の極限に収束することは、 ∀ε > 0 ∃N ≥ 0 ∀n ≥ N ∀k ≥ 1 ∣ sn+k-sn ∣< ε. すなわち、 ∀ε > 0 ∃N ≥ 0 ∀n ≥ N ∀k ≥ 1 ∣ an+1 + an+2 + ⋯ +an+k ∣< ε. と同値である。 例えば、上の補題で k = 1 のとき、 ∀ε > 0 ∃N ≥ 0 ∀n ≥ N ∣ an+1 ∣< ε. となりますから、数列 {an} の一般項が 0 に収束することを意味しています。 条件収束級数の不思議な性質①～リーマンの再配列定理とは～. 足し算の順番を並べ変えるだけで答えが違う値になる…そんな不思議なことが |ihi| nrp| huw| gub| kuc| jpf| vhg| sen| zph| mha| aax| udh| nbe| goz| ndx| cgh| mth| bka| ezd| vmw| vjl| mds| cht| jlo| rkc| rsw| cup| scc| jab| yti| eym| smh| gvr| fqr| cjr| zoa| nsp| ugd| kic| kkt| bzl| sjv| snx| doc| mor| luy| hiz| uou| fhn| wda|