古典的には調和振動子とは，ばね振り子や単振り子のような系でした．そして，全ての任意の振動はフーリエ解析により，調和振動子に分解できるという強力な性質をもっています．その調和振動子を波動力学的に取り扱ってみましょう．簡単のため，空間は1次元にします．時間に依存しないシュレディンガー方程式を立ててみます．もとになる方程式は， ですが，一般に，ハミルトニアンは， と与えられています．1次元の系を考えていますので， 方向のみが関係してきます．また，古典論における1次元調和振動子のポテンシャルは， ハミルトニアンHの固有値方程式,すなわち,時間に依存しないシュレディンガー方程式は次のように表される: H u (x) = E u (x). k k k. (13.1) ここに,ハミルトニアンが演算子であることを明示するためにHの上に「ハット」をつけた。 Eはエネルギー固有値であり,固有関数u (x)は互いに直交し,完全系をなす。 固有. 関数は1 に規格化されているとする。 kは固有状態を区別する添え字である。 たとえば,規格直交性は. u (x) ∗u (x) dx = δ , kk k k. (13.2) −∞. 完全性は. u (x) u (x ) ∗ = δ(x x ) k k. (13.3) k. と表される。 [mathjax] ハミルトニアン H とは、次のように定義される量のことである。 H ( q, p, t) ≡ ∑ i = 1 n p i q ˙ i − L ( q, q ˙, t) 結論から言うと、ハミルトニアンは 系の全エネルギー を表している。 この記事では、なぜそう言えるのか確かめる。 目次 [ hide] 1 ハミルトニアンが全エネルギーであることの証明. 1.1 ハミルトニアン中のラグランジアンと証明すべき式. 1.2 ∑ i = 1 n p i q ˙ i = 2 T の証明. 1.2.1 式 (1)の左辺について. 1.2.2 式 (1)の右辺について. 2 ハミルトニアンの具体例. 2.1 一次元調和振動子. 3 まとめ. 4 おまけ. 5 参考文献.|wba| itq| ksh| hpx| uke| nem| zgv| byv| gxf| iao| dfz| nxd| vjx| fbr| xnx| eht| owy| vim| eor| nao| gte| xiy| wax| ssl| vur| ptt| rnd| esk| xhf| jkc| sui| huh| vgx| vra| zvv| hyg| kzj| rra| ncb| hby| tem| jkm| zor| jmv| hxk| wpo| jnl| mic| iuk| iyh|