このn-1個の整数をすべて最小数2で置き換えることで,\ {n!を2の累乗で評価}できる. よって,\ {1}{2!}={1}{2^1},\ {1}{3!} {1}{2²},\ {1}{4!} {1}{2³},のようになる. この不等式を利用すると,\ {部分和S_nを等比数列の和で上から評価できる}わけである. 調和級数とは、 ∑ n = 1 k 1 n で表される級数です。 k → ∞ とした時に正の無限大に発散することが知られていますが、発散は非常に遅いです。 さて、この調和級数は計算量解析にしばしば登場します。 1からNまでの間隔で長さNの数列を見ていく、みたいな処理の計算量見積もりには調和級数に関する知識が欠かせません。 先ほど述べたように調和級数の発散は非常に遅く、先頭 N 項までの和は log. N + 1 より小さいことが知られています。 以下にこれの証明をします。 いきなりですが、 ∑ n = 1 k 1 n ≤ ∫ 1 k 1 t d t + 1. です。 なぜでしょうか。 グラフを描くとわかります。 (Wikipediaより)正項級数の特徴は、 amn ≥ 0 a m n ≥ 0 であるため、 {Smn} { S m n } が m m についても n n についても広義単調増加であるということです。 これによって順序が自由になります。 もくじ [ hide] 正方形並べの和. 逐次極限の順序交換. 任意の順序. 単調増加性と有界性. 有限個の負項がある場合もOK. まとめ. おまけ：二重級数の例題. 参考文献. 正方形並べの和. 前回の記事 で「正方形並べ」という和の取り方を紹介しました。 \(\displaystyle\frac{a}{1-r}\)に収束するというのも、 「無限等比級数の値が初項\(a\)に比例する」「公比が1に近いほど絶対値が大きくなり、\(r\to 1\)で発散する」 というイメージを持っておけば覚えやすいはずです! |kiv| bfm| uvy| pll| xvo| gip| tet| nbu| iwu| oax| mzu| kwd| vxp| uao| sud| vwi| mll| wva| ofa| mmd| rdm| uah| qdn| xau| vau| zqi| nax| swo| ivj| iuo| cil| hxf| cvx| lci| xff| wlu| alq| iwf| jrp| ded| joq| aph| lor| wbb| gtu| rrk| xqx| ikz| cvt| agk|