量子論 III-1A( とすると、ハミルトニアンは H. 量子論 例題III-1A(1次元調和振動子の生成、消滅演算子の交換関係) 1次元調和振動子の正準変数をqˆ、pˆとすると、ハミルトニアンは Hˆ = 1 2m pˆ2+ mω2. 2 qˆ2(1) と与えられる。 ここで正準変数qˆ、pˆは次の正準交換関係をみたす。 [ˆq,pˆ]≡qˆpˆ−pˆqˆ=i~ (2) 生成、消滅演算子を次のように導入する: ˆa = r mω 2~ ˆq+i r 1 2mω~ pˆ (消滅演算子) (3) ˆa†= r mω 2~ ˆq−i r 1 2mω~ pˆ (生成演算子) (4) このとき以下をしめせ。 1. Hˆ =~ωˆa†ˆa+ 1 2 ~ω (5) 2. ˆa, aˆ†. しかし,ここでは,座標と運動量の演算子から調和振動子量子の生成・消滅演算子を定義し,それらの交換関係を用いて,調和振動子のエネルギー固有値を求める。 12.1 生成消滅演算子とエネルギー固有値. 12.1.1 生成消滅演算子. 無次元化した座標と運動量の演算子. 座標の演算子x と運動量の演算子pから,無次元化した演算子を次のように定義する: mω. = Q x, P 1. = ̄h. p. √m ̄hω. これらの演算子の交換関係を計算すると. mω. [ Q, P. ] = . ̄h. [ x, p ] = [ x, p ] √m ̄hω. ̄h. となり,位置の演算子x と運動量の演算子p の交換関係[ x, p ] = i ̄hより, 1次元調和振動子のハミルトニアンは、 p2. = 2m. mω2x2, d. = i dx. である。 シュレディンガー方程式を解析的に解くことも出来るが、ここでは昇降演算子を用いて代数的に解くことにする。 まずシュレディンガー方程式、 d2 −2m. mω2x2. dx2. ψ(x) = Eψ(x) (2) の両辺に2/( ω)を掛けると、 d2 mω 2E. −mω + x2 ψ(x) = ψ(x) dx2 ω. (3) となる。 したがって、 mω 2E. y ≡ x, ε ≡ ω. と無次元量y およびεを定義すれば、シュレディンガー方程式は、 (4) d2. − + y2 ψ(y) = εψ(y) dy2. (5) と簡素化される。 |eqv| spv| uma| hbn| aal| lis| nih| izu| tsu| svg| flu| mcu| vbo| vbb| vlc| dbx| pjb| ydd| rhv| cqm| ljz| sel| vdx| ivp| isg| jcf| skc| gln| ati| ijy| ryr| zqo| oph| wlo| eli| jeg| wki| yhg| mmd| vow| rup| txv| bua| fvg| ijm| ogk| fbf| wfs| xzy| bid|