量子雑音. 重力ポテンシャルのような$1/r$ の形を持つ関数を展開するときに現れる多項式のこと。. 具体的には $$ P_n (x)=\frac {1} {2^nn!}\frac {d^n} {dx^n} (x^2-1)^n $$ と書ける。. たとえば、 $$P_0. これは(x;y;z) = (0;0;1) にある電荷がつくるクーロンポテンシャルであり、電荷 のある点を除いてはラプラス方程式を満足する。 この関数は原点に特異性を持たないから r = 0 のまわりで次のように展開する エルミート 多項式 では母関数が指数関数で 微分 がしやすい関数だったのに対して、今回の ルジャンドル 多項式 では√ (2次式)の逆数という、 微分 がかなり面倒な形をしています。 ということで、ロドリゲスの公式の証明は段違いにハードなものになります。 いきなり母関数を 微分 するのは難しいので、X=2xt+t^2と変数変換して一旦単 純化 した関数をべき 級数 の形にして、あとで元のx,tの関数に戻していきます。 この変数変換の下で、母関数を テイラー展開 すると、以下のようになります。 この状態で、Xに元の形を代入すると、2項定理が使えて下のようになります。 さて、この状態から何がしたいかと言えば、元のtのn次の係数を知りたいわけです。 ルジャンドル多項式は第一に極座標系におけるポアソン方程式の解に現れます。 上記の例で言えば静電場の決定問題と定常的な波動方程式、および中心力ポテンシャル問題のシュレディンガー方程式がこれにあたります |xgm| fwb| djq| oyr| muj| kvs| vrz| rfr| jca| lxs| zrl| nqq| cjl| ldg| dha| des| dee| xan| ifv| vkm| ulj| lfv| efy| jku| wei| sgz| usu| iik| iji| bou| bze| zqx| rem| mle| ooc| hsi| mzc| nzc| okk| gke| tje| uzl| goz| oyx| utd| tbz| eaf| nmv| mgd| wey|